巷道錨注巖體失穩(wěn)的突變模型及最小厚度的確定
劉福勝1，宋　揚(yáng)2，王連國(guó)3，劉佩璽1，岳慶河1
（1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)水利土木工程學(xué)院，泰安　271018；2.山東科技大學(xué)資環(huán)學(xué)院，青島　266510；3.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，徐州　221008）

摘要：本文針對(duì)目前巷道加固中普遍應(yīng)用的錨注支護(hù)結(jié)構(gòu)在理論研究方面的不足，從突變理論出發(fā)建立了錨注支護(hù)體的突變理論模型，得到了錨注體破壞的力學(xué)判椐和點(diǎn)（N，q）在控制空間的運(yùn)動(dòng)途徑對(duì)巖體穩(wěn)定性的影響，并通過(guò)破壞力學(xué)判椐得到關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)的最小厚度，為實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用提供了理論依據(jù)。
關(guān)鍵詞：錨注；突變；模型；失穩(wěn)
中圖分類號(hào)：TU457　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A　文章編號(hào)：1000-2324(2005)04-0552-05
收稿日期：2005-06-26
作者簡(jiǎn)介：劉福勝(1964-　)，男，教授，主要從事力學(xué)、巖土工程研究和教學(xué)工作。

MUTATION MODLE OF LOST STABILITY OF ROLT-GROUTING IN ROADWAY AND THE MINIMUM THICKNERS OF KEY BEARING ROCK MARS
LIU Fu-sheng1, SONG Yang2, WANG Lian-guo3, LIU Pei-xi1,YUE Qing-he1
(1.Shandong Agricultural University, Water and conservancy and civil Engineering college,Taian 271018,China;2.Shandong University of science and Technology,Resource and Environment college, Qingdao 266510,China;3.China University of Mining and Technology,,Technology college, Xuzhou 221008,China)

Abstract:in this paper, considering incompleteness in theoretic study about bolt-grouting structure applied universally in roadway reinforcement at present , model of mutation theory about bolt-grouting body is established according to mutation theory , obtain mechanical determinant about the failure of bolt-grouting body and the influence on stability of rock mass in movement path of point （N，q）in controlling space. At the same time, the minimum thickness of key bearing rock mass making up of only a layer of bolt-grouting rock mass was obtained according to failure mechanical determinant. This movided theoretical bases for practical calculations and application.
Key Words:bolt-grouting, mutation, model, lost stability
1　引言
　　國(guó)內(nèi)外無(wú)數(shù)次的巖體工程實(shí)踐表明，巖體工程的失穩(wěn)，大多數(shù)是由于其內(nèi)部節(jié)理、裂隙等缺陷及其發(fā)展導(dǎo)致的。為了防止巖體的變形破壞，需采用各種方式進(jìn)行加固，其中注漿錨桿加固是重要的一種。在節(jié)理裂隙巖體中，注漿和錨桿的加固作用十分明顯，但到目前為止，關(guān)于裂隙巖體整體失穩(wěn)破壞和注漿錨桿加固機(jī)理尚不十分清楚，這方面的研究很少。本文主要探討注漿巖梁的破壞過(guò)程，引用突變理論的有關(guān)知識(shí)解答本文將要探討的問(wèn)題。
2　突變理論的基本概念
　　突變理論基本概念包括：函數(shù)、歐幾里得空間，歐氏空間的線性映射、距離、微商、偏微商、臨界點(diǎn)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、奇點(diǎn)集、分歧集。其中，臨界點(diǎn)和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是最重要的概念。臨界點(diǎn)有孤立和非弧立之分，又有非退化臨界點(diǎn)與退化臨界點(diǎn)之分，非退化的臨界點(diǎn)稱為Morse臨界點(diǎn)，可以證明，非退化的臨界點(diǎn)一定是孤立的，但反過(guò)來(lái)不成立。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題可以看成結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)在小擾動(dòng)下是否恢復(fù)原來(lái)的平衡位置，其數(shù)學(xué)描述粗略地表示為：在f的臨界點(diǎn)U處(局部概念)，如果對(duì)充分小的函數(shù)P∈C∞，f+P的臨界點(diǎn)和f 的臨界點(diǎn)U類型相同，稱f在U附近是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。任何一個(gè)系統(tǒng)，其狀態(tài)總要保持平衡，系統(tǒng)由一個(gè)平衡狀態(tài)躍變(而不是逐變)到新的平衡狀態(tài)時(shí)就發(fā)生了突變，這個(gè)過(guò)程的全貌可通過(guò)一個(gè)光滑的平衡曲面來(lái)描述，突變理論所研究的就是描述這種突變過(guò)程的所有可能的平衡曲面。千差萬(wàn)別的突變現(xiàn)象，以它們的平衡曲面來(lái)分類，可以歸結(jié)為若干基本的類型。R. Thom證明，如果控制空間的維數(shù)不超過(guò)4，則只有7種可能的突變形式(7種局部拓?fù)漕愋?，它們是拓?fù)浞€(wěn)定的，且和狀態(tài)變量或廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。由于突變理論的特殊性(如圖形表達(dá)或分類簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn))，人們已經(jīng)將其用于材料斷裂過(guò)程的分析，當(dāng)控制裂紋擴(kuò)展的荷載參數(shù)為2個(gè)或多個(gè)時(shí)，裂紋擴(kuò)展過(guò)程要比單個(gè)荷載問(wèn)題復(fù)雜，用以往的辦法討論難以湊效，采用突變理論可以將各式各樣的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化成幾種已知的模型，使分析多參數(shù)問(wèn)題較為簡(jiǎn)易。
3　關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)的突變失穩(wěn)
　　我們知道，巷道所處的巖體是復(fù)雜的。巷道塌方一般發(fā)生的拱部，巷道開(kāi)挖之后，拱部的巖體對(duì)巷道的穩(wěn)定有重要影響，如果拱部的巖體失穩(wěn)，則會(huì)進(jìn)一步影響整個(gè)巷道的失穩(wěn)。拱部所處的巖體稱之為關(guān)鍵承載巖體或關(guān)鍵承載層巖體。本文只討論關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)的突變失穩(wěn)問(wèn)題。
3.1　受力模型
　　巖體較軟弱、關(guān)鍵承載巖體較薄或者承載巖體離巷道頂板較遠(yuǎn)時(shí)，巷道頂板穩(wěn)定性較差。需要進(jìn)行錨注加固，頂板加固后形成一層類似于關(guān)鍵承載巖體的板式梁。如圖1所示：

　　梁的長(zhǎng)度為巷道的寬度。其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，垂直寬度為h，水平寬度為d，且L＞＞h、d≈h，彈性模量為Em，水平力N垂直作用于梁的兩端，梁的中部受集中力p的作用，A、B兩點(diǎn)還有向上的垂直力，但垂直力方向上沒(méi)有位移，故模型上未表示出。又設(shè)巖體在構(gòu)造應(yīng)力的作用下發(fā)生彎曲變形，其軸線的撓度曲線可精確地表示為富氏級(jí)數(shù)：

　　近似表示。式中：s為由原點(diǎn)A到軸線上任一點(diǎn)C的弧長(zhǎng)，w為對(duì)應(yīng)于s的撓度，L為軸線長(zhǎng)。
3.2　系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)
　　圖1示的各力在隧道開(kāi)挖注漿之后一定時(shí)間內(nèi)是不斷變化的，由于作用力的靜態(tài)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。首先建立系統(tǒng)在該過(guò)程中總勢(shì)能函數(shù)的表達(dá)式，再通過(guò)給出勢(shì)函數(shù)族的全部臨界點(diǎn)集，來(lái)確定系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的應(yīng)力條件。
系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)：
　　由彈性理論可知，任一結(jié)構(gòu)體系的總勢(shì)能V，可表示為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U和荷載勢(shì)能的組合：
（3）
　　式中：Pi為結(jié)構(gòu)上的荷載，δi為其相應(yīng)位移，n為荷載個(gè)數(shù)，對(duì)于我們的模型，垂直力均布力q在加載過(guò)程中做負(fù)功，因而有
　　?。?）
　　式中δ是水平方向的總位移，u為梁軸線中點(diǎn)的撓度，取向上方向?yàn)檎?BR>　　對(duì)上述結(jié)構(gòu)體系，根據(jù)梁的彎曲理論的平截面假設(shè)，我們可有
　　 （5）
式中：K為梁的曲率，I為梁的橫截面對(duì)水平軸的慣性矩。則式（4）最后可近似表達(dá)為
　　?。?）
　　對(duì)（6）式中被積函數(shù)作泰勒展開(kāi)，截?cái)嗪?，就得出了我們所討論的模型系統(tǒng)總勢(shì)能函數(shù)的近似表達(dá)式：
　?。?）
3.3　系統(tǒng)的突變理論模型
　　對(duì)（7）式用變換，

　　則系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)式可化為以a，b（相應(yīng)以水平力N和垂直力q）為控制變量，以x（相應(yīng)以軸線中點(diǎn)撓度u）為狀態(tài)變量的CUSP型突變模型：
（11）
　　由（11）式可知，對(duì)于每一組由一對(duì)N，P所決定的a，b，總有一勢(shì)函數(shù)Va，b相對(duì)應(yīng)，故式（11）實(shí)際上給出了一個(gè)函數(shù)族：
V∶R　　R2→R　　?。?2）
其中R為狀態(tài)空間，R2為控制空間，函數(shù)族V中所有勢(shì)函數(shù)Va,b的所有臨界點(diǎn)的集合M，稱為平衡曲面，是由平衡方程
DV_a,b=x³+ax+b=0　?。?3）
　　定義的子集，它是一光滑流形集，其圖形如圖2所示。

　　由圖2可見(jiàn)，突變映射 q是自然投影　　π∶R×R2→R2
　　對(duì)M的限制，在此π(x,a,b)=(a,b)，即
　　　　　　　　q∶M→{(a,b)},(x,a,b)|→(a,b),(x,a,b)∈M.
　　q的奇點(diǎn)集S在控制空間R2中的象B稱為分叉集，B在a-b控制空間中為滿足條件
27b2+4a３=0　　　 （14）
　　的（a，b）點(diǎn)，在N-P控制空間中，就是滿足條件
54L６q2+（EIπ４-L2π３N）３π４=0　　 （15）
　　的點(diǎn)（N，P），其形狀為圖中控制面C上的尖角形曲線，因勢(shì)函數(shù)（11）僅在分叉集B上，即僅在滿足（14）式的點(diǎn)（a，b）上有退化的臨界點(diǎn)，故上述模型系統(tǒng)只有在水平力N和垂直力q滿足條件時(shí)，結(jié)構(gòu)才是不穩(wěn)定的，才可能由一個(gè)平衡狀態(tài)突變到另一個(gè)平衡狀態(tài)。
3.4　巖體運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)的力學(xué)條件
　　據(jù)所建立的突變模型，可對(duì)上述模型的平衡穩(wěn)定性問(wèn)題，得出以下幾點(diǎn)初步的認(rèn)識(shí)：
　?。?）分叉集B對(duì)控制空間N-q的劃分
　　由水平力N和垂直力q構(gòu)成N-q的控制空間，被分叉集B分為五個(gè)部分：點(diǎn)Q；曲線B的兩支B1和B2；區(qū)域E和尖角區(qū)的內(nèi)部J（圖3），它們對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)不同的狀態(tài)，分別討論如下（記（5）式左端為D）：
　?、冱c(diǎn)Q　這時(shí)D=0和q=0。由（6-15）式就有

　　這就是使巖體失穩(wěn)的最小水平應(yīng)力值。由突變模型得到的這一特殊情況，正是彈性理論中關(guān)于梁失穩(wěn)的臨界應(yīng)力值。

　　②B的兩支B1和B2這時(shí)D=0但q≠0,相應(yīng)平衡方程（13）有一個(gè)單根和一對(duì)重根，它們對(duì)應(yīng)于勢(shì)函數(shù)V的一個(gè)極小值和一個(gè)變曲點(diǎn)。平衡曲面M上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)（N，q）的點(diǎn)，若在折疊線S的一支上，就要突變跳躍到使系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的另一單葉上，反之則不然（如圖4）。水平應(yīng)力滿足σN>σN0是點(diǎn)（N，q）∈B的必要條件。
　　③區(qū)域E這時(shí)D>0，平衡方程（13）相應(yīng)只有一個(gè)實(shí)根，它使勢(shì)函數(shù)V在此只有一個(gè)極小值。在M上，對(duì)應(yīng)于（N，q）∈E的點(diǎn)，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，還可以發(fā)生突變。點(diǎn)（N，q）∈E時(shí)，σN>σN0、σN=σN0和σN<σN0三種情況有可能出現(xiàn)。
　?、軈^(qū)域J　這時(shí)D＜0，平衡方程（13）相應(yīng)就有三個(gè)不同實(shí)根，它們對(duì)就于勢(shì)函數(shù)V的兩個(gè)極小值和一個(gè)極大值。對(duì)應(yīng)于尖角形區(qū)域J內(nèi)的每一點(diǎn)（N，q），M上有三個(gè)點(diǎn)：上下兩葉的點(diǎn)使系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，中間一葉的點(diǎn)使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，中間一葉的點(diǎn)在理論上是不能達(dá)到的。當(dāng)σN>σN0時(shí)，也是點(diǎn)（N，q）∈J的必要條件。
3.5　點(diǎn)（N，q）在控制空間的運(yùn)動(dòng)途徑對(duì)巖體穩(wěn)定性的影響?yīng)?BR>　　據(jù)分叉集B對(duì)N-q控制空間的劃分，可看出，作為控制變量的水平力N和垂直力q的漸變可導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)的突變，并且點(diǎn)（N，q）內(nèi)在控制空間的運(yùn)動(dòng)途徑對(duì)巖體穩(wěn)定性有明顯影響，圖5、圖6給出了幾種基本的情況，實(shí)際情況無(wú)疑要復(fù)雜得多。設(shè)點(diǎn)（N，q）在控制空間C中的運(yùn)動(dòng)途徑為A-G-K-D-F，在平衡曲面M上，點(diǎn)（N，q）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)途徑為A′-G′-K′-D′-F′。
　　①點(diǎn)（N，q）用在水平力N滿足條件N>N0，且保持常數(shù)，垂直力q增大時(shí)運(yùn)動(dòng)（如圖5）。當(dāng)點(diǎn)（N，q）右移到K點(diǎn)，系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生突變，勢(shì)能也發(fā)生突變。我們注意到，這時(shí)垂直力是由負(fù)經(jīng)過(guò)零逐漸增大的。這說(shuō)明，在Q點(diǎn)附近一個(gè)局部范圍內(nèi)，巖體受到的垂直力的性質(zhì)發(fā)生了變化（方向改變），并且它的出現(xiàn)和漸變可能導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)突變。K點(diǎn)的垂直力起到"觸發(fā)"系統(tǒng)一次突變的作用，我們不妨稱這時(shí)的垂直力PK為“觸發(fā)力”。如果點(diǎn)（N，P）沿相反途徑運(yùn)動(dòng)（如圖中的F-D-K-G-A），那么突變不是在原來(lái)的K，（或D），而是在原來(lái)不發(fā)生突變的G點(diǎn)發(fā)生，這可以解釋巖體的失穩(wěn)，不僅決定于應(yīng)力水平，而且與力的作用方式有關(guān)。
　?、邳c(diǎn)（N，q）保持在區(qū)域E中運(yùn)動(dòng)（如圖6）。這時(shí)水平力和垂直力的變化，使得巖體從一個(gè)穩(wěn)定平衡狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，雖然也可能出現(xiàn)水平應(yīng)力超過(guò)臨界應(yīng)力的情況，但不會(huì)發(fā)生狀態(tài)的突變。這時(shí)的N和q相當(dāng)于導(dǎo)致巖體穩(wěn)態(tài)蠕動(dòng)、滑移等進(jìn)程的力學(xué)條件。
　?、埸c(diǎn)（N，q）的運(yùn)動(dòng)使起、終點(diǎn)都在尖角區(qū)J內(nèi)。盡管此時(shí)初始和最終作用的應(yīng)力狀態(tài)可能接近（甚至相同），但系統(tǒng)的狀態(tài)和勢(shì)能卻可能發(fā)生很大的變化，但不以突變的方式發(fā)生。例如開(kāi)始在A，由于沒(méi)有足夠大的垂直觸發(fā)力，隨著時(shí)間的推移，水平力又降低了（如相鄰塊體發(fā)生了水平方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使作用在這一塊體上的水平力降低），經(jīng)過(guò)G、K、D最后達(dá)到F。

4　關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)最小厚度的確定
　　為確定關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)的最小厚度，假設(shè)取關(guān)鍵承載巖層軸向?qū)挾葹閱挝婚L(zhǎng)度，厚度為h0，因此有：
　　代入式（15）得錨注體的最小厚度為：

5　結(jié)論
　　本文針對(duì)目前巷道加固中普遍應(yīng)用的錨注支護(hù)結(jié)構(gòu)在理論研究方面的不足，從突變理論出發(fā)建立了錨注支護(hù)體的突變理論模型，得到了錨注體破壞的力學(xué)判椐和點(diǎn)（N，q）在控制空間在的運(yùn)動(dòng)途徑對(duì)巖體穩(wěn)定性的影響，并通過(guò)破壞力學(xué)判椐得到關(guān)鍵承載巖體由一層錨注巖體構(gòu)成時(shí)最小厚度，為實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用提供了理論依據(jù)。今后對(duì)圓形巷道錨注支護(hù)體的突變理論研究將作進(jìn)一步的研究。
參考文獻(xiàn)
〔1〕李術(shù)才. 加錨斷續(xù)節(jié)理巖體斷裂損傷模型及其應(yīng)用〔博士學(xué)位論文〕〔D〕. 武漢：中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所，1996
〔2〕 Thompson J M T，Shorrock P A. Hyperbolic umbilic catastrophe in crystal fracture〔J〕. Nature，1976，(260)：598-599
〔3〕 潘岳.巖石破裂過(guò)程的折迭突變模型〔J〕.巖土工程學(xué)報(bào),1999,21(3):299-303
〔4〕 秦躍平. 巖石損傷力學(xué)模型及其本構(gòu)方程的探討〔J〕. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2001，20(4)：560-562
〔5〕 趙松傘，于允賢. 突變理論及其在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用〔M〕. 北京：科學(xué)出版社，1987
〔6〕 桑德斯 P T. 災(zāi)變理論入門〔M〕. 凌復(fù)華譯. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1983
〔7〕 黃克智，余壽文. 彈塑性斷裂力學(xué)〔M〕. 北京：清華大學(xué)出版社，1985