要：在建立煤與瓦斯突出的安全力學(xué)條件下，運(yùn)用尖點(diǎn)突變理論研究礦井中的煤與瓦斯突出，通過構(gòu)造煤與瓦斯突出的突變勢(shì)函數(shù)，利用突變尖點(diǎn)模型對(duì)突出的啟動(dòng)和終止過程進(jìn)行定性分析和研究，從而為煤與瓦斯突出災(zāi)害預(yù)測(cè)與防治提供新的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：煤與瓦斯突出；尖點(diǎn)突變；構(gòu)造勢(shì)函數(shù)；突出力學(xué)條件

煤與瓦斯突出是發(fā)生在礦井煤巖體中的災(zāi)害動(dòng)力現(xiàn)象，是含瓦斯煤巖體的一種劇烈的能量釋放形式。如今對(duì)突出機(jī)理的研究認(rèn)識(shí)，大多是基于力學(xué)或能量的觀點(diǎn)，但突出從孕育到啟動(dòng)和從發(fā)展到結(jié)束都具有明顯的突變特征。故研究突出啟動(dòng)和結(jié)束的突變過程，掌握突出啟動(dòng)和結(jié)束的影響因素，可以加深對(duì)突出災(zāi)變性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有利于礦山企業(yè)采取有效的安全措施來防治和減輕突出的危害。

1 突變理論的基本概況

突變理論是奇點(diǎn)理論和分岔理論研究不連續(xù)變化現(xiàn)象的理論，是一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支。

當(dāng)事物發(fā)展的軌跡在拓?fù)淝嫔嫌龅街袛嗵?，平衡就遭到破壞，于是發(fā)生了突變。突變理論是一種旨在應(yīng)用的理論，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理學(xué)中，借助突變理論不僅能加深對(duì)已有定律的認(rèn)識(shí)，還取得了一些新成果。Thom，證明，當(dāng)控制系統(tǒng)的因素(控制變量)不多(≤4個(gè))時(shí)，只有7種基本突變形式，其中最常用的是尖點(diǎn)突變模型。

當(dāng)控制變量有2個(gè)時(shí)，最簡(jiǎn)單的突變模型都是尖點(diǎn)型。該突變型應(yīng)用最廣，且它的臨界面也容易構(gòu)造，幾何形狀直觀性也很強(qiáng)。

2 尖點(diǎn)突變的概述

尖點(diǎn)突變的勢(shì)函數(shù)為



狀態(tài)變量是一個(gè)，即x，控制變量有2個(gè)，即u和v，所以相空間是三維的，該勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)是方程式(1)的解。



式(1)曲面見圖1。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)是以x，u，v為坐標(biāo)的三維空間的一個(gè)點(diǎn)來代表，則相點(diǎn)一直位于曲面上，事實(shí)上，這些點(diǎn)一直位于曲面的頂葉或底葉。這是因?yàn)橹腥~對(duì)應(yīng)于小穩(wěn)定平衡。如果相點(diǎn)正好在曲面終止的邊緣上(曲綿回折形成的中葉處)，則它必定跳躍到另一葉上，這就引起x的突變。尖點(diǎn)之中有2個(gè)極小點(diǎn)，它們被1個(gè)極大點(diǎn)分隔，而尖點(diǎn)之外只有1個(gè)極小點(diǎn)。



圖1 尖點(diǎn)突變的平衡曲而

2.1 運(yùn)用尖點(diǎn)突變理論解決工程問題的一般方法

初等突變理論的應(yīng)用分兩類。一類是定量描述，主要用于數(shù)理化等科學(xué)，其方法是尋找一個(gè)勢(shì)函數(shù)或者某一突變流形或分叉集有相同數(shù)學(xué)描述的系統(tǒng)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，將其歸結(jié)為Thom分類表中的某一種類型。另一類是定性分析，主要用于生物、社會(huì)等科學(xué)，由觀察到的特征假想出一個(gè)初等突變模型，然后作數(shù)據(jù)擬合，看這個(gè)數(shù)學(xué)模型能否用來較好地解釋觀察到的現(xiàn)象，最后推斷現(xiàn)象的機(jī)理，導(dǎo)出一個(gè)物理模型。

基于尖點(diǎn)突變理論，工程問題分析一般是建立勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，再利用泰勒展開、變量替換等技巧將勢(shì)函數(shù)化為尖點(diǎn)突變的標(biāo)準(zhǔn)形式：



式(2)中V(x)表示系統(tǒng)總勢(shì)能，x表示狀態(tài)變量，u，v為控制變量，對(duì)V(x)求導(dǎo)，得平衡曲面M的方程：



式(3)所決定的臨界點(diǎn)集稱為突變流形，即平衡曲面，該曲面在(x，u，v)空間中的圖形是具有皺褶的光滑曲面，見圖2，由上、中、下三葉組成，其中上、下兩葉穩(wěn)定，中葉不穩(wěn)定。不管u，v按何種途徑變化，其中相點(diǎn)(x，u，v)都只在上葉或者下葉穩(wěn)定變化，恒在其到達(dá)上葉或者下葉的皺褶邊緣時(shí)產(chǎn)生突跳而直接躍過中葉。所有在平衡曲面上有豎直切線的點(diǎn)構(gòu)成狀態(tài)的突變點(diǎn)集S，其方程為



奇異點(diǎn)集的控制變量(u，v)在平面C上的投影就構(gòu)成了分叉集，它是所有使得狀態(tài)變量產(chǎn)生突跳突變的點(diǎn)的集合，分叉集方程由式(3)、(4)聯(lián)立并消去x，即得到：





圖2 平衡曲面和控制變量平面

由圖2可知，當(dāng)u≤0時(shí)才有跨越分叉集的可能，所以系統(tǒng)發(fā)生突跳的一個(gè)必要條件是：u≤0。

當(dāng)控制變量u，v滿足分叉集方程時(shí)，系統(tǒng)則處于突跳前的臨界狀態(tài)，所以可得到系統(tǒng)發(fā)生突變的充分條件(臨界條件)。

系統(tǒng)中某些因素的變化將會(huì)導(dǎo)致u，v的改變。利用圖2可以對(duì)系統(tǒng)的演化途徑作一些定量分析。

2.2 煤與瓦斯發(fā)生突出機(jī)制

綜合作用假說認(rèn)為突出是地應(yīng)力、瓦斯壓力和煤的物理力學(xué)性質(zhì)綜合作用的結(jié)果。資料表明，物理力學(xué)性質(zhì)方面具備能夠形成突出的煤體在地應(yīng)力的作用破壞下是煤與瓦斯突出發(fā)生的一個(gè)必要條件但不是充分條件，原因是地應(yīng)力破壞煤體后如果煤體的裂紋或裂隙中沒有足夠的瓦斯壓力，裂紋或裂隙就不會(huì)大面積地?cái)U(kuò)展，暴露面附近已被地應(yīng)力破壞的煤體也不會(huì)被拋出，即突出不會(huì)發(fā)生，且被破壞的煤體僅承受一定應(yīng)力，動(dòng)態(tài)的應(yīng)力場(chǎng)將會(huì)慢慢地形成靜態(tài)應(yīng)力場(chǎng)，這樣暴露面也將慢慢地處于穩(wěn)定狀態(tài)，煤體內(nèi)部的瓦斯氣體將以較為緩慢的速度向井巷釋放。但是如果煤體在地應(yīng)力作用下破壞后能較快地釋放足夠的瓦斯量并形成積聚，從而形成較高的瓦斯壓力，撕裂煤體，從而使得煤體被拋出，這樣煤與瓦斯突出就發(fā)生了。

2.3 煤與瓦斯突出發(fā)生的力學(xué)條件

根據(jù)M. M. Leven提出的球蓋失穩(wěn)的經(jīng)驗(yàn)公式，可推出煤與瓦斯發(fā)生突出現(xiàn)象的力學(xué)條件為



式(6)的使用條件是：?_i=20^o～60^o，R_i/t_i=400~200。

式中：P_im為煤殼后部裂隙內(nèi)積聚的最大瓦斯壓力，MPa；_i為球蓋狀煤殼的邊緣與煤殼的曲率中心構(gòu)成的中心角的一半；E為煤體的彈性模量，MPa；E為煤殼的厚度，m；R_i為煤殼的曲率半徑，m；p₂為煤殼外部作用的氣壓，MPa。

令式(6)的右邊部分為P₁，則煤與瓦斯突出的安全力學(xué)條件為：P_im≤P₁。

由此可以得出：煤與瓦斯突出所能承受的安全受力與煤殼的厚度、煤殼的曲率半徑、煤殼的外部作用氣壓、煤體的彈性模量，以及球蓋狀煤殼的邊緣與煤殼的曲率中心構(gòu)成的中心角等有關(guān)。

2.4 構(gòu)造突變勢(shì)函數(shù)

發(fā)生煤與瓦斯突出前，影響其發(fā)生的一個(gè)或多個(gè)因素是在變化的，一直達(dá)到臨界點(diǎn)，這段過程是突出的量變過程；達(dá)到臨界點(diǎn)后，當(dāng)某一個(gè)或多個(gè)影響因素向有利于突出發(fā)生的方向變化時(shí)，就發(fā)生了突出，這一過程是突出的質(zhì)變過程；從量變到質(zhì)變，必定存在著一個(gè)突變。

現(xiàn)在構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：w(?_i，R_i)和y(E，t_i，P₂)，其中w是單調(diào)減小的；y是分段函數(shù)；當(dāng)P₁-P_im>0時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)P₁-P_im<0時(shí)，單調(diào)減小(P_im為實(shí)際瓦斯壓力)。煤與瓦斯突出可以適合尖點(diǎn)突變模型，則其突變勢(shì)函數(shù)為



由式(7)對(duì)(P₁-P_im)求導(dǎo)，可得到平衡曲面M的方程：



突變點(diǎn)集(奇點(diǎn)集)方程S為



分叉集方程口為



3 突變理論對(duì)煤與瓦斯突出分析

在圖3中，w和y分別代表煤與瓦斯突出的啟動(dòng)和發(fā)展的2個(gè)條件；當(dāng)P₁-P_im<0時(shí)，w增大則不利于瓦斯突出發(fā)生；y減小時(shí)有利于瓦斯突出發(fā)生。突出從下葉到上葉的躍遷過程是煤與瓦斯突出的啟動(dòng)和發(fā)展過程的體現(xiàn)，相反突出終止過程是用上葉到下葉的躍遷過程來體現(xiàn)。



圖3 平衡曲面和控制平面

通常，在無外界因素影響的情況下，圖3中分叉集日的左支、右支曲線分別代表瓦斯突出過程的臨界啟動(dòng)條件和瓦斯突出的臨界終止條件。

因此，把突出的啟動(dòng)過程描繪為孕育、激發(fā)和發(fā)展階段的前部；突出的終止過程為發(fā)展階段的后部和終止階段。

3.1 煤與瓦斯突出的啟動(dòng)過程

煤與瓦斯突出的啟動(dòng)過程，見圖4。其中，P₁-P_im<0時(shí)，w和y都是單調(diào)減小的。先假定w不變，則y就會(huì)隨著E，t_im，P₂這幾個(gè)參數(shù)中的一個(gè)或多個(gè)的增大而減小，直至封分叉集B的左支曲線，此時(shí)突出也已到達(dá)臨界點(diǎn)的位置。若參數(shù)繼續(xù)增大，圖上就表現(xiàn)為從下葉躍遷至上葉，相應(yīng)的P₁-P_im<0由小于0突變?yōu)榇笥?，此刻煤體所承受的瓦斯壓力大于煤體本身所能承受的安全瓦斯壓力，則突出就會(huì)發(fā)生。圖中a-b-c是(w，y)在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。

再假定y不變，則由圖當(dāng)y>0時(shí)，無論w怎樣變化，最多也只能到達(dá)臨界點(diǎn)，此種情況下突出不可能發(fā)生，這一結(jié)論與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況完全吻合；相反當(dāng)y<0時(shí)，”隨著影響其參數(shù)的一個(gè)或多個(gè)減小而增大，才能到達(dá)分叉集B的左支曲線，進(jìn)而發(fā)生躍遷，現(xiàn)場(chǎng)表現(xiàn)為突出發(fā)生。圖4中a-b-d是(w，y)在平衡曲面上運(yùn)動(dòng)軌跡。



圖4 突出啟動(dòng)參數(shù)變化圖

上面兩個(gè)假定，分析了在各自假定條件下，突出發(fā)生的條件。實(shí)際情況中突出發(fā)生時(shí)，w和y都可能在變化，在圖4中的運(yùn)動(dòng)軌跡也極有可能不是上述2種情況，但可以肯定的是突出發(fā)生在圖中的表現(xiàn)為：先從下葉到達(dá)分叉集B的左支曲線，然后在影響參數(shù)繼續(xù)向有利于突出的方向影響下發(fā)生躍遷到上葉。

3.2 煤與瓦斯突出的終止過程

突出發(fā)生后，經(jīng)過一定的時(shí)間和空間的變化后，在一些相關(guān)因素的影響下才會(huì)停止下來。圖5描述的是突出的終止過程。

同分析啟動(dòng)過程一樣，先假定w不變，則y會(huì)隨著E，t_i，p₂這幾個(gè)參數(shù)中的一個(gè)或多個(gè)的減小而增大，等到達(dá)分叉集B的右支曲線時(shí)，若y繼續(xù)增大，則在圖中表現(xiàn)為躍遷P₁-P_im也由大于0變?yōu)樾∮?，煤體所承受的瓦斯壓力就會(huì)小于煤體所能承受的安全瓦斯壓力，突出就終止。圖中a’-b’-c’是(w，v)在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。



圖5 突出停止參數(shù)變化圖

若y不變，當(dāng)y很小時(shí)，則不論w怎樣增大也到不了分叉集B的右支曲線，使人容易認(rèn)為突出將持續(xù)下去，其實(shí)，這是表象，當(dāng)突出達(dá)到一定的程度時(shí)，突出的空洞將被排出的煤巖體堵塞，相當(dāng)于P₁增大，當(dāng)P₁增大到使得P₁>p_im時(shí)，突出過程就終止。如果y不是很小的情況下，當(dāng)w隨著影響其因素(_i，R_i)的增大而增大，現(xiàn)場(chǎng)表現(xiàn)為遇到較為堅(jiān)硬的煤(巖)層等，根據(jù)突出終止過程的條件，也將到達(dá)分叉集B的右支曲線，進(jìn)而發(fā)生躍遷。在圖5上表現(xiàn)為(P₁-p_im)由大于0躍遷變?yōu)樾∮?，過程終止。(w，y)在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡為a’-b’-d’。

同理，在突出的終止過程時(shí)，w和y可能都發(fā)生變化。(w，y)在平衡曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡也較為復(fù)雜，但有一點(diǎn)明確的是先從上葉到達(dá)分叉集B的左支曲線，然后躍遷到下葉。

4 結(jié)束語

應(yīng)用尖點(diǎn)突變理論，描述了突出啟動(dòng)和終止的力學(xué)安全突變勢(shì)函數(shù)，分析了突出啟動(dòng)和終止的突變過程和突變影響因素?，F(xiàn)場(chǎng)采掘過程中，突出發(fā)生前，點(diǎn)(w，y)處于平衡曲面下葉的某一個(gè)位置，隨著掘進(jìn)工作的進(jìn)行，該點(diǎn)不斷地變化，通常情況下，該點(diǎn)只在下葉的頁面范圍內(nèi)移動(dòng)。但是，如果在掘進(jìn)前方存在能引起突出的物質(zhì)和條件，如構(gòu)造煤、斷層、應(yīng)力集中區(qū)、煤層傾角突然變大等情況，此時(shí)y減小，w增大，點(diǎn)(w，y)極有可能向分叉集B的左支曲線移動(dòng)，當(dāng)y減小以及w增大達(dá)到一定值時(shí)，點(diǎn)(w，y)就會(huì)到達(dá)分叉集B的左支曲線，如果繼續(xù)向這一方向變化，則點(diǎn)(w，y)就會(huì)突破分叉集B的左支曲線，由下葉躍遷到上葉，這樣突出就發(fā)生了。同樣，突變終止是影響點(diǎn)(w，y)所處狀態(tài)的因素突然變化而引起躍遷產(chǎn)生的結(jié)果。

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